1er Corte

Unidad No 1. Generalidades.
Unidad No 2. Teoria de las Proyecciones.
Unidad No 3. Verdadera Magnitud.

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Unidad No 2 Teoría de las proyecciones

Geometría:

La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

Geometría descriptiva

La geometría descriptiva es la ciencia de representación gráfica, sobre superficies bidimensionales, de los problemas del espacio donde intervengan, puntos, líneas y planos.

Algunos elementos geométricos son:

·         Circunferencia: es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto.

·         Circulo: Un círculo es una superficie plana limitada por una circunferencia.

 

·         Polígonos: Un polígono es una figura geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados y pueden ser polígonos regulares e irregulares.

         Nosotros trabajaremos solamente con polígonos regulares, como por ejemplo:   triangulo equilátero, cuadrado y otros.

·         Polígonos regulares: Los polígonos regulares son los que tienen los lados y los ángulos iguales, y además se pueden circunscribir o pueden estar inscritos en una circunferencia.

·         Circunscrito: limitado a un espacio determinado.Ejemplo fig. 1

·         Inscrito: cuando una figura geométrica se dibuja dentro de otra forma geométrica.Ejemplo Fig. 2

·         Sólido: cuerpo tridimensional, es decir, que tiene volumen, nosotros en este curso trabajaremos con sólidos rectos.

·         Sólidos rectos: es cuando la base del sólido y el eje son perpendiculares,  es  decir forman 90º, nosotros trabajaremos con los siguientes sólidos:

         Prisma, pirámide, cono y cilindro.

·         Poliedros: Un sólido con lados planos.

·         Axonometría: es un tipo particular de representación que tiene, las mismas pretensiones que las proyecciones ortogonales: permite, por lo tanto, la representación sobre un plano de un objeto tridimensional  logrando una identificación precisa de las formas y de las dimensiones del objeto , la representación axonométrica se compone de una sola imagen, en la cual se sugiere con claridad el aspecto volumétrico del objeto representado.

·         Perspectiva axonométrica: representa elementos geométricos o volúmenes en un plano, mediante proyección ortogonal ,en un triedro trirrectagulo donde el dibujo está referido a tres ejes ortogonales de las forma que conserven sus proporciones en las tres direcciones del espacio altura, ancho y longitud.

Ejemplos: perspectiva caballera, cuando uno de los ángulos entre los ejes forma 90º Fig. 3a

              perspectiva isométrica cuando el angulo entre cada eje es de 120º. Ejemplo Fig. 3b

·         Trazas: Son líneas rectas que representan la intercepción de planos auxiliares con los planos principales de proyección.

·         Abatimiento: Método que se usa para determinar la verdadera magnitud de un elemento geométrico a partir de sus proyecciones.

Importancia de la Geometría Descriptiva.

En el caso de la geometría descriptiva puede englobar trabajos como bosquejos o croquis, esquemas, diagramas, planos eléctricos y electrónicos, representaciones de todo tipo de elementos mecánicos, planos de arquitectura, urbanismo etc.; Ya que esta tiene por objeto resolver los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano y representar en él las figuras de los sólidos; de manera que estudiar Geometría Descriptiva es estudiar el mundo que nos rodea. Toda disciplina que requiera la representación de elementos en una superficie plana (papel) encontrará, en la Geometría Descriptiva, un gran aliado.

Teoría de las proyecciones.

Típicamente los Ingenieros idean y proyectan maquinas, estructuras, dispositivos y dirigen su construcción, por tanto deben prepararse descripciones que enseñen cada detalle o aspecto en cuanto a forma y tamaño.

Debido a esta necesidad, las ideas se describen por su proyección, es decir, por la formación de una imagen sobre un plano, utilizando los rayos o líneas visuales que van en una dirección particular desde el objeto a dicho plano.

Definición  de Proyección.

Es la vista del punto, línea o cuerpo, que las líneas visuales generan sobre el plano de proyección.

La proyección es un procedimiento descriptivo que permite representar sobre un plano de proyección todos los puntos destacados de un objeto espacial, es decir los puntos que pertenecen al objeto son imaginados por un observador y proyectados  mediante líneas rectas imaginarias van a incidir sobre una superficie plana anterior o posterior al objeto, la cual se denomina plan de proyección.

La imagen reproducida sobre el plano de proyección, se llama proyección del objeto.

Tipos de Proyecciones.

·         Proyección Cónica:

en este sistema  el centro de proyección está situado a una distancia finita del objeto, por lo tanto los rayos proyectantes son divergentes, las líneas visuales parten de un punto fijo (ojo humano, lámpara), y la trayectoria que describen al pasar por el objeto es cónica.Ejemplo: Fig. 4

·         Proyección Paralela o Cilíndrica:

En este sistema  de proyección, el observador está ubicado a una distancia infinita del objeto, por lo que los rayos proyectantes son paralelos entre si, pudiendo interceptar el plano en forma oblicua o perpendicular.

1.   Proyección paralela Oblicua o caballera: cuando las líneas proyectantes interceptan oblicuamente al plano de proyección. Ejemplo: Fig. 5

2.   Proyección paralela Ortogonal: cuando las líneas proyectantes interceptan el plano perpendicularmente, es un sistema de proyección común en la representación industrial, por la simplicidad de construcción y las propiedades de la proyección paralela que aseguran conservación de las relaciones dimensionales naturales del objeto.

La proyección ortogonal tiene dos formas de representarse: en vistas múltiples y en proyección axonometría.Ejemplo: Fig.6

Sistemas Espaciales y sus planos ortogonales.

Sistemas de Proyección.

Por normalización han sido enumerados I,II,II,VI, en sentido contrario a las agujas del reloj. Fig. 7

Igualmente existen dos planos bisectores (también indefinidos) que dividen a cada cuadrante en dos partes dando origen a los octantes. Ejemplo:  Fig.8

Las normas internacionales utilizan generalmente sus proyecciones en el primer cuadrante ISO E y tercer cuadrante ISO A.

El primer cuadrante corresponde al sistema europeo Norma DIN (ISO E), consiste en colocar el sólido a proyectar entre el observador y los planos de proyección. Ejemplo: Fig. 9

Planos Abatidos.

Rebatimiento: Rebatir un plano (a), consiste en girarlo a través de una de sus rectas características, la cual actúa como una “bisagra”, hasta hacerlo coincidir con uno de los planos principales de proyección.

La proyección se realiza sobre tres planos, el vertical, horizontal y lateral, el plano lateral resuelve el problema de exactitud, entrando en un campo tridimensional, donde el objeto ocupará un solo espacio ,determinado por los tres planos, se denomina  proyección triédrica.

El tercer cuadrante corresponde al sistema Americano Norma DIN (ISO A), consiste en colocar el plano de proyección entre el observador y el objeto a proyectar. Ejemplo: Fig. 10

Considerando las normas DIN se empleara el primer cuadrante para realizar las proyecciones en este curso.

·         Elementos de la proyección Ortogonal

PV : Plano horizontal    

PH : Plano vertical  

PL : Plano Lateral

LT :   Línea de Tierra

LP: Línea de Pliegue

LI: Línea de intersección

dl : distancia del objeto al plano lateral (Se aleja del plano lateral)

c : cota, distancia del objeto al plano horizontal (Se aleja del plano horizontal)

av: alejamiento vertical , distancia del objeto al plano vertical.(Se aleja del plano vertical)

Los planos PV, PH, PL son los planos de proyección donde se representa las vistas del objeto. Ejemplo: Fig.11

El punto.

Punto: Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones.

Proyección del punto:

·         Paso 1: determinar los planos de proyección.

·         Paso 2: Se grafica el punto a través  de la triada distancia lateral, cota y alejamiento vertical.

El primer punto que aparece en la triada es la distancia lateral (dl) y se mide desde el origen sobre la línea de tierra, hacia la izquierda.

Luego está la cota , la cual se mide sobre la línea de pliegue

Seguidamente sobre la línea de intersección ( LI) hacia la derecha se mide el alejamiento vertical (av), y también hacia abajo.

Ejemplo:

Las coordenadas de un punto se expresan siempre en orden y separadas por una coma (,). Por ejemplo, la notación A(25, 35, 30)mm, identifica a un punto (A) con las siguientes coordenadas:

• 25 mm. ésta medida se llama distancia lateral (dl) y  se ubica sobre la línea de tierra hacia la izquierda a partir del origen .
• 35 mm. ésta medida se llama cota (C)  y se mide hacia arriba, sobre la línea de pliegue.
• 30 mm. ésta medida se llama alejamiento vertical y se mide sobre la línea de intersección hacia la derecha y hacia abajo. Ejemplo. fig. 12

Posición Relativa:

·         Cuando el punto pertenece a un plano:

Pertenece al PV: el alejamiento vertical del punto es igual a cero, la proyección vertical Av coincide con el punto A,  la proyección horizontal Ah, estará sobre la LT y la proyección vertical (Al) estará sobre la línea de pliegue. Ejemplo. Fig.13

Pertenece al PH: la cota del punto será igual a cero, la proyección horizontal Ah coincide con el punto A, la proyección vertical  Av estará sobre la línea de tierra y la proyección lateral estará sobre la línea de intersección. Ejemplo. Fig. 14

Pertenece al PL: la distancia lateral del punto es igual a cero, la proyección lateral AL coincide con el punto, la proyección vertical Av estará sobre la línea de pliegue  de PV y PL, y Ah estará sobre la línea de interseccion entre PL y PH. Ejemplo: Fig. 15

  Cuando el punto está sobre la línea de tierra. Ejemplo: Fig. 16

También el punto puede pertenecer a las líneas de pliegues.

 

La recta.

Línea Recta:

Las proyecciones de una línea recta quedan definidas por las proyecciones homónimas de dos de sus puntos A y B, la unión de las proyecciones de esos puntos mediante una línea recta permiten obtener las proyecciones vertical, horizontal y lateral de la porción de la línea recta r, representada por el segmento de recta AB. Ejemplo Fig. 17

Posiciones relativas de la recta:

·         Cuando la recta pertenece a un plano

Pertenece al PV: todos los puntos de esa recta tienen sus alejamientos iguales a cero. Fig. 18

Pertenece al PH: todos los puntos de esa recta tienen las cotas iguales a cero.

Pertenece al PL: todos los puntos de esa recta tienen las distancias laterales iguales a cero.

·         Cuando la recta esta perpendicular a un plano:

Perpendicular a PV: para que la recta cumpla esta condición, todos los puntos deben tener, igual cota, igual dL y será paralela a PH y a PL.

Su proyección p’ es perpendicular a LT y p’’ es un punto que coincide con la traza  de la recta.Ejemplo: Fig. 19

Perpendicular PH: para que la recta cumpla esta condición, todos los puntos deben tener, igual alejamiento y igual dL, y será paralela a PV y PL.

Tiene traza con PH. Su proyección Pv es perpendicular a LT y Ph es un punto que coincide con la traza de la recta. Ejemplo. Fig. 20

Perpendicular a PL: para que la recta cumpla esta condición, todos los puntos deben tener, igual cota e igual alejamiento vertical, y será paralela a  PV y PH. Ejemplo: Fig. 21

·         Cuando la recta esta paralela a un solo plano:

Paralela a PV: todos los puntos de esta recta tienen iguales alejamientos verticales, pero diferentes cotas y distancias laterales, lo que indica que es  oblicua respecto a PH y a PL. tiene traza con el plano horizontal. En su representación diédrica f’’ forma ángulo con LT y f’ es paralela a LT. Ejemplo: Fig.22

Paralela a PH: todos los puntos de esta recta tienen iguales cotas pero diferentes alejamientos y distancias laterales, lo que indica que esta oblicua con respecto a PV y PL. Tiene traza con el plano vertical. En su representación diédrica h’ forma ángulo con LT y h’’ es paralela a LT. Ejemplo. Fig. 23

Paralela a PL: Todos los puntos de esta recta tienen iguales distancias laterales pero diferentes cotas y alejamientos, lo que indica que esta oblicua respecto a PV y a PH. tiene trazas con PH y PV. Sus proyecciones p’ y p’’ son perpendiculares a LT. Para conocer su inclinación se necesita el plano de perfil PP. Ejemplo: Fig. 24

·         Cuando la recta esta oblicua a los tres planos: Todos los puntos de esa recta tienen las cotas, los alejamientos y las distancias laterales diferentes. Ejemplo: fig. 25

·         Cuando la recta pertenece a LT: todos los puntos de esas rectas tienen las cotas y los alejamientos iguales a cero, pero diferentes distancias laterales

Trazas de una recta:

Se denomina trazas a los puntos de intersección originados por la línea recta al atravesar los planos de proyección. Así la recta AB origina los puntos H y V, el punto H es la traza horizontal y el punto V es la traza vertical.

Determinar las proyecciones de una recta conocida sus trazas: Como sus trazas son dos puntos en cada plano de proyección, por cada punto se traza una recta que debe llegar hasta la LT en forma perpendicular, determinándose  así la proyección vertical Hv de la traza horizontal y la proyección horizontal de Vh de la traza vertical, sobre la línea de tierra.

Uniendo con una línea los puntos V con Hv, se construye la proyección vertical y H con Vh se construye la proyección horizontal. Ejemplo: Fig. 26, Fig. 27

El Plano

Es una superficie formada por el movimiento de una línea recta directriz inmóvil (Bogoliubov 1988, p. 68)

Representación de un plano

La posición de un plano en el espacio en el espacio  queda determinada de acuerdo a las siguientes condiciones:

Y también la representación descriptiva del plano viene dado por las proyecciones de:

·         Por tres puntos no colineales.

·         Por una recta  y un punto exterior a ella

·         Por dos rectas que se cortan

      .      Por dos rectas paralelas. Ejemplo: Fig. 29

Trazas: son la intersección de un plano auxiliar con los planos de proyección, las trazas tienen un punto común sobre la línea de tierra, se llama punto de intersección de las trazas (PIT) basta con dos trazas para representar a un plano, las líneas de la figura que está a la derecha representan las trazas del plano auxiliar  que está a la izquierda.                                

 Trazas del Plano. Ejemplo: Fig. 30.

cuando un plano se ve de filo se dice que está de canto.

Posiciones relativas de un plano.

·         Cuando el plano auxiliar es paralelo a uno de proyección.

Paralelo a PV: perpendicular a PH y a PL, por eso se ve como una línea recta en PH y PL. Ejemplo: Fig. 31                                                      

                                                                             

Paralelo a PH: necesariamente es perpendicular a PV y a PL, por eso se ve como una línea recta en PV y en PL. Ejemplo :Fig. 32

                                                                  

Paralelo a PL: es perpendicular a PV y a PH, por eso se ve como una línea recta en PV y en PH.  Ejemplo: Fig 33                                                  

                                                                     

Cuando el plano auxiliar es perpendicular a uno de proyección.

Perpendicular a PV: el plano esta oblicuo a PL y a PH. Ejemplo: Fig. 34

                                                                  

Perpendicular a PH: El plano esta oblicuo a PV y a PL. Ejemplo: Fig. 35

                                                          

   Perpendicular a PL:    Ejemplo: Fig. 36                                

Cuando el plano auxiliar es oblicuo a los tres planos de proyección. Ejemplo: Fig. 37

Razonamientos sobre puntos, rectas y planos geométricos.

1.- El comportamiento de un punto depende de sus coordenadas o triadas, la coordenada más pequeña nos dirá a que plano de proyección está más cercano dicho punto.

2.-Si una de las coordenadas vale cero (0)mm, entonces el punto pertenece (Є) al plano de proyección que corresponde con dicha coordenada.

3.- Si dos triadas valen cero, entonces el punto Є al eje (línea) donde se interceptan los dos planos involucrados.

·         LT: Línea de tierra, hay dos:

-      una que resulta de la unión de PV con PH

-      y otra que resulta de la unión de PL con PH, esta puede llamarse línea de intersección.

        LP: Línea de pliegue. resulta de la unión de PV con PL.

4.- Si todas las triadas valen cero entonces el punto Є al origen.

5.-Si dos triadas tienen el mismo valor, pero a su vez son distintas de cero Є al alguno de los bisectores:

P (a, b, b)  , Є al 1er bisector

P (b, a, b)  , Є al 2do bisector

P  (b, b. a)  , Є al 3er bisector

6.- El comportamiento de una recta, viene dado por sus puntos extremos, es decir, si tienen iguales o diferentes triadas.

7.- Una recta está paralela (ll) a un plano de proyección, si sus puntos tienen idéntico valor en la triada correspondiente a dicho plano de proyección.

8.- Una recta está oblicua (/_ ) a un plano de proyección , si sus puntos tienen diferente valor en la triada correspondiente a dicho plano de proyección.

9.- Una recta esta perpendicular ( l ) a un plano de proyección, si y solo si, está paralela a los otros dos planos de proyección.

10.- La proyección de una recta, dependerá siempre de cómo esté con respecto al plano de proyección. Si está paralela ( ll) su proyección estará en Verdadera magnitud (VM). Si está oblicua ( /_ ) , su proyección será de menor tamaño, y si está ( l ) su proyección será un simple punto.

11.- Una recta puede Є a un eje o a un plano de proyección, si sus dos puntos también  Є al elemento espacial, pero nunca podrá Є al origen pues no sería una recta.

12.- El comportamiento de un plano geométrico, viene dado por la combinación de todos sus puntos, es decir, si tienen iguales o diferentes triadas.

13.- Un plano podrá Є  a un plano de proyección, si todos sus puntos también Є a ese plano de proyección. pero nunca podrá Є al origen o a uno de los ejes, pues ya no seria un plano.

14.- Un plano está paralelo ( ll ) a un plano de proyección si sus puntos tienen el mismo valor en la triada correspondiente a dicho plano de proyección.

15.- Un plano está oblicuo a un plano de proyección, si sus puntos tienen al menos un valor diferente en la triada correspondiente a ese plano de proyección.

16.- Cuando un plano esta ll a un plano de proyección, entonces está perpendicular a los otros dos.

17.-La proyección de un plano, dependerá de cómo esté con respecto al plano de proyección. Se está ll, su proyección su proyección estará en verdadera magnitud (VM). Si está oblicuo, su proyección será de menor tamaño y si esta perpendicular, su proyección será una recta.

Ejercicios Resueltos sobre proyeccion de Planos

Ejercicios propuestos de Proyección de  Planos

1	Construya un polígono heptagonal perpendicular a PV que forma 60° con PH , O (72,45,54) mm, R=35 mm Condición= un vértice de la base tiene 19 mm de Av.
2	Construya un polígono de doce lados, perpendicular a PL, y forma 60° con PH, O( 51,37, 27)mm, R=35mm
3	Construya un Polígono eneagonal, perpendicular a PV y forma 120° con PH, O (130,50,46)mm, R=35mm
4	Construya un Polígono octogonal perpendicular a PH, tiene centro O(160,69,25)mm y un vértice A(136,59,8)mm

  NOTAS TSU EN ELECTRICIDAD

Docente: Betzi Teran		DIBUJO TECNICO  1							SECCION 2				TEB3113
TSU ELECTRICIDAD		1er p	Taller	Taller	2do P	Taller		3er p	Proyecto				Total
		25%	2,5%	2,5%	25%	2,50%	2,50%	25%	5% (P)	5% (M)	5%(c)		100%	Sustituye
1	BARRIOS WILMARY	4									5		9
2	CARRASCO, LUIS	1									5		6
3	CARUSI, YOSENNYS	1									5		6
4	CRESPO, OMAR	1											1
5	DAVIS PEREZ, GABRIEL	1									5		6
6	FIGUEROA, JESUS	4									5		9
7	HERNANDEZ, ROBEIT	1									5		6
8	LAGO, SHERDHI	4									5		9
9	LOPEZ, EUDY	1											1
10	MADRID, HUMBERTO	6									5		11
11	MELENDEZ, JOSE	22,8									5		27,8
12	MENDOZA, DIXON	1											1
13	MUJICA, PLACIDO	6											6
14	MUJICA, PLACIDO										5		5
15	PINEDA, LUIS	2											2
16	PIOVESAN, ANGELICA	7									5		12
17	RAMOS, HECTOR	1									5		6
18	RIERA, ROXANA	1									5		6
19	RODRIGUEZ, JOSE L.	1									5		6
20	SEGUERI, DIANA	2									5		7
21	SERRANO, JAVIER	9									5		14
22	SIRA, JUNIOR	1									5		6
23	TIMAURE, YORBELIS	1									5		6
24	VARGAS, VICTOR M.	1									5		6
25	VERDE, EDUARD	10									5		15
26	VILLANUEVA, JOSE	2									5		7

NOTAS ING RURAL. DIBUJO 1

Docente: Betzi Teran			DIBUJO  1						SECCION  2				ABI 1212
ING RURAL		1er p	Taller	Taller	2do P	Taller		3er p	Proyecto				Total
		25%	2,5%	2,5%	25%	2,50%	2,50%	25%	5% (P)	5% (M)	5%(c)		100%	Sustituye
1	ALVAREZ, ROXI	1									5		6
2	AMUNDARAY, MICHELL	6,6								1	5		12,6
3	ARAQUE, ANA										5		5
4	ARIAS, ERIKA	0									5		5
5	BRICEÑO, JIMMER	5,16									5		10,16
6	CAMACARO, MARIANNY	22									5		27
7	CAMPOS, MARIA	4,6									5		9,6
8	CAMPOS, MARIANA	2									5		7
9	CAMPOS, YOHANNYS	1									5		6
10	CASTILLO, ELVIS	1									5		6
11	CHACIN, DOUGLAS										5		5
12	CRESPO, EDECIA	1									5		6
13	CRESPO, YADISON	4,5									5		9,5
14	DAN, YNDIRA	0									5		5
15	GAONA, JESUS	1											1
16	GARCIA, JAVIER	5,3								1	5		11,3
17	LIZARZADO, JESUS	4								1	5		10
18	MELENDEZ, RAFAEL										5		5
19	OCANTO, MARIA	3,5									5		8,5
20	OCANTO, YONATHAN	1									5		6
21	PEREIRA, ROSANA	3									5		8
22	PEREZ, JOSE C	18,5								1	5		24,5
23	PEREZ, JOSE L	4									5		9
24	PINEDA, DOMINGO	4									5		9
25	RIERA, MARIA	2,6									5		7,6
26	RIERA, NEOMAR	3									5		8
27	RODRGUEZ, DIMAS	22,6								1	5		28,6
28	SANTELIZ, JUAN	1									5		6
29	SEGUERI, ARELIS	6,7									5		11,7
30	TIMAURE, ISAIS	3									5		8
31	VERDE, RENNY	9,2									5		14,2
32	YEPEZ, CARLOS	3,66									5		8,66